ASYMPTOTICS OF THE SOLUTION OF THE DIRICHLET PROBLEM FOR A SINGULARLY PERTURBED DIFFERENTIAL EQUATION OF ELLIPTICAL TYPE
DOI:
https://doi.org/10.52754/16948610_2025_4_11%20Keywords:
Dirichlet problem, singular perturbation, regular perturbation, asymptotic solution, asymptotic expansion, boundary layer, annulusAbstract
This paper studies the Dirichlet problem for a linear nonhomogeneous elliptic second-order partial differential equation with two independent variables and a small parameter in front of the Laplace operator. Similar problems are encountered in physics, engineering, biology, chemistry, and other fields of science. The Dirichlet problem under consideration is characterized by the following features: 1) the presence of a small parameter in front of the Laplace operator; 2) a removable singular circle on the inner boundary of the annulus. The noted singularities on the boundary annuli generate two boundary layers. One of them generates a classical boundary layer, and the second, a nonclassical one. Consequently, the solution to the Dirichlet problem consists of the sum of three functions: a regular exterior solution and two solutions in the boundary layers.
References
Алымкулов, К., Асылбеков, Т.Д., Долбеева, С.Ф. (2013). Обобщение метода погранфункций для решения краевой задачи для бисингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка. Математические заметки, 94(4), 484–487.
Васильева, А.Б., Бутузов, В.Ф. (1973). Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. Москва: Наука.
Вишик, М.И., Люстерник, Л.А. (1957). Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Успехи математических наук, 12(4), 3–122.
Ильин, А.М. (1989). Согласование асимптотических разложений краевых задач. Москва: Наука.
Коул, Дж. (1972). Методы возмущений в механике жидкости. Москва: Мир.
Ломов, С.А., Ломов, И.С. (2011). Основы математической теории пограничного слоя. Москва: Изд-во МГУ.
Ломов, С.А. (1981). Введение в общую теорию сингулярных возмущений. Москва: Наука.
Найфе, А. (1984). Введение в методы возмущений. Москва: Мир.
Турсунов, Д. А. (2013). Асимптотика решения бисингулярно возмущенных обыкновенных и эллиптических дифференциальных уравнений. Ош: Билим.
Турсунов, Д.А. (2018). Асимптотическое решение линейных бисингулярных задач с дополнительным пограничным слоем. Известия вузов. Математика, (3), 70–78.
Tursunov, D.A., Orozov, M.O. (2020). Asymptotics of the Solution to the Roben Problem for a Ring with Regularly Singular Boundary. Lobachevskii Journal of Mathematics, 41(1), 89–95.
Tursunov, D. A. Orozov, M.O. (2020). Asymptotic solution of the perturbed first boundary value problem with a non-smooth coefficient. Bulletin of the South Ural State University Ser. Mathematics. Mechanics. Physics. 12(3), 41–47.
Турсунов, Д., Бекмурза уулу, Ы. (2022). Асимптотики решения возмущенной задачи с регулярной особой точкой. Вестник Ошского государственного университета, (1), 159–166. https://doi.org/10.52754/16947452_2022_1_159
Tursunov, D.A. (2017). The Asymptotic Solution of the Three-Band Bisingularly Problem. Lobachevskii Journal of Mathematics, 38(3), 542–546.
Wasow, W. (1944) Asymptotic solution of boundary value problems for the differential equation ΔU + λ(∂/∂x)U = λf(x, y). Duke Mathematical Journal, 11, 405.
Downloads
Published
How to Cite
Issue
Section
License
Copyright (c) 2025 Дилмурат Турсунов, Максатбек Орозов
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.
