ASYMPTOTICS OF THE SOLUTION OF THE CAUCHY PROBLEM WITH INTERIOR AND BOUNDARY LAYERS
DOI:
https://doi.org/10.52754/16948610_2025_4_12%20Keywords:
initial value problem, bisingular perturbation, singular perturbation, asymptotic solution, asymptotic expansion, boundary layers, interior layersAbstract
This article examines the initial-value problem for a linear nonhomogeneous ordinary differential equation with a small parameter in the derivative. Similar problems are encountered in physics, engineering, biology, chemistry, and other fields of science. The Cauchy problem under study is characterized by a small parameter in front of the derivative of the unknown function and a singular point within the interval under consideration. These two singularities generate two layers, the first being the classical boundary layer, and the second the interior layer. Therefore, the solution consists of the sum of three functions: a regular exterior solution, a solution in the neighborhood of the initial point, which characterizes the classical boundary layer, and a solution in the neighborhood of the singular point, which characterizes the interior layer. The goal of this article is to construct a uniform asymptotic expansion of the solution to a bisingularly perturbed Cauchy problem. A new algorithm for constructing an asymptotic expansion of bisingular problems is proposed. A demonstration example and a comparison with a numerical solution constructed in the Maple system are provided.
References
Абдилазизова, А. (2022). “Асимптотика решения сингулярно возмущенного линейного дифференциального уравнения первого порядка”. Вестник Ошского государственного университета, (1), 5–11. https://doi.org/10.52754/16947452_2022_1_5
Алымкулов, К., Халматов, А. А. (2012). “Метод погранфункций для решения модельного уравнения Лайтхилла с регулярной особой точкой”. Математические заметки, 92(6), 819–824.
Алымкулов, К., Асылбеков, Т.Д., Долбеева, С.Ф. (2013). “Обобщение метода погранфункций для решения краевой задачи для бисингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка”. Математические заметки, 94(4), 484–487.
Васильева, А.Б., Бутузов, В.Ф. (1973). Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. Москва: Наука.
Вишик, М. И., Люстерник, Л. А. (1957) Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Успехи математических наук, 12(4), 3–122.
Ильин, А. М. Согласование асимптотических разложений краевых задач. Москва: Наука, 1989. – 334 с.
Коул, Дж. (1972) Методы возмущений в механике жидкости. Москва: Мир. – 276 с.
Ломов, С. А., Ломов, И. С. (2011) Основы математической теории пограничного слоя. Москва: Изд-во МГУ. – 456 с.
Ломов, С. А. (1981) Введение в общую теорию сингулярных возмущений. Москва: Наука. – 400 с.
Найфе, А. (1984) Введение в методы возмущений. Москва: Мир. – 535 с.
Омаралиева, Г. А., Турсунов, Д. А. (2022) Промежуточный пограничный слой в сингулярно возмущенных уравнениях первого порядка. Труды Института математики и механики УрО РАН, 28(2), 193–200.
Сушко, В. Г., Розов, Н. Х. (1997) Асимптотическое решение бисингулярных обыкновенных дифференциальных уравнений. Математическое моделирование, 9(10), 33.
Тихонов, А. Н. О (1948) зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. Математический сборник, 22 (64), 193–204.
Тихонов, А. Н. (1952) Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных. Математический сборник, 31 (73) (3), 575–586.
Турсунов, Д. А. (2013) Асимптотика решения бисингулярно возмущенных обыкновенных и эллиптических дифференциальных уравнений. Ош: Билим. – 150 с.
Турсунов, Д. А. (2018) Асимптотическое решение линейных бисингулярных задач с дополнительным пограничным слоем. Известия вузов. Математика, (3), 70–78.
Турсунов, Д. А. (2018) Асимптотика решения задачи Коши при нарушении устойчивости точки покоя в плоскости «быстрых движений». Вестник Томского государственного университета. Математика и механика, (54), 46–57.
Турсунов, Д., Бекмурза уулу, Ы. (2022). Асимптотики решения возмущенной задачи с регулярной особой точкой. Вестник Ошского государственного университета, (1), 159–166. https://doi.org/10.52754/16947452_2022_1_159
Шлихтинг, Г. (1974) Теория пограничного слоя. Москва: Наука. – 712 с.
O’Malley, R. E. (1974) Introduction to Singular Perturbation. Academic Press, New York.
Poincaré, H. (1886) Acta Mathematica, 8. – P. 295–344.
Prandtl, L. (1904) Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses, Heidelberg. – P. 484–491.
Tursunov, D. A. (2017) The asymptotic solution of the three-band bisingularly problem. Lobachevskii Journal of Mathematics, 38(3), 542–546.
Tursunov, D. A., Sulaimanov, Z. M., & Khalmatov, A. A. (2021) Singularly perturbed ordinary differential equation with turning point and interior layer. Lobachevskii Journal of Mathematics, 42(12), 3016–3021.
Wasow, W. (1944) Asymptotic solution of boundary value problems for the differential equation ΔU + λ (∂/∂x) U = λf(x, y). Duke Mathematical Journal, 11, 405.
Downloads
Published
How to Cite
Issue
Section
License
Copyright (c) 2025 Завур Сулайманов
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.
