МЕТОД ЛИНИЙ УРОВНЯ В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

Аннотация

В данной работе проведен краткий анализ ранее проведенных исследований по неавтономным и автономным сингулярно возмущенным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Отмечено, основные результаты получены с использованием устойчивости точек покоя для неавтономных уравнений и положений равновесия для автономных уравнений. Поставлен вопрос исследования асимптотического поведения решений сингулярно возмущенных уравнений без привлечения условий устойчивости. Для решения поставленной задачи разработан метод с использованием линий уровня сопряженных гармонических функций, порождаемых заданными аналитическими функциями. Демонстрация метода проведена, для простоты изложения, для линейного скалярного уравнения первого порядка. От правой части требуется только аналитичность в некоторой открытой, односвязной области комплексной плоскости. Метод состоит из двух частей: топологической и аналитической. В первой части с использованием линий уровней сопряженных гармонических функций произведены покрытие и деление области. Во второй части с выбором путей интегрирования осуществлено исследование асимтотического поведения решения заданного уравнения. Исследование проведено без привлечения условий устойчивости. Далее проведен анализ возможных направлений развития метода.