АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ БИСИНГУЛЯРНОЙ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ВНУТРЕННИМ СЛОЕМ

Аннотация

В статье исследуется двухточечная краевая задача для линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром ε под знаком старшей производной искомой функций. Рассматриваемое уравнение задано в виде εy″(x)+xy′(x)–xy(x)=f(x,ε), –1<x<1, и граничные условия y(–1)=0, y(1)=0. Подобные задачи встречаются в физике, технике, биологии, экономике и других областях науки. Особенностями рассматриваемой задачи являются принадлежность к классу сингулярно возбужденных уравнений, а также то, что коэффициент соответствующего невозбужденного уравнения обращается нулю на рассматриваемом отрезке. Эти два фактора (сингулярное возмущение и внутренняя сингулярная точка) делают задачу бисингулярной и усложняют структуру решения. Однако отличие рассматриваемой задачи от других сингулярно возмущенных задач заключается в том, что на границе граничных точек не появляются пограничные слои. Слой образуется только в окрестности внутренней сингулярной точки х=0. В результате мы не можем записать решение рассматриваемой задачи с помощью одной функции, т.е. мы строим отдельные решения на отрезках [–1,0] и [0,1], т.е. строится составное решение. Каждый из них состоит из суммы двух функций: регулярной внешней части и внутреннего решения, описывающего слой на сингулярной точки. Цель исследования – построить равномерное асимптотическое разложение решения двухточечной краевой задачи с бисингулярным возмущением, на данном отрезке. Точность полученных асимптотических формул сравнивается с численными расчетами, выполненными в системе Maple на основе конкретного примера, и доказано их асимптотическая близость.