The Cauchy problem for a nonlinear sine-Gordon type equation in the class of periodic functions
DOI:
https://doi.org/10.52754/16948645_2023_1_210Keywords:
Sine-Gordon type equations, Dirac operator, spectral data, Dubrovin's system of equations, trace formulas.Abstract
In this paper, the inverse spectral problem method is used to integrate a nonlinear sine-Gordon type equation in the class of periodic infinite-gap functions. The evolution of the spectral data of the periodic Dirac operator is introduced, the coefficient of which is the solution of a nonlinear equation of the sine-Gordon type. The solvability of the Cauchy problem for an infinite system of Dubrovin differential equations in the class of three times continuously differentiable periodic infinite-gap functions is proved. It is shown that the sum of a uniformly convergent functional series constructed by solving the system of Dubrovin's equations and the first trace formula satisfies a sine-Gordon type equation.
References
Жибер А.В., Муртозина Р.Д., Хабибуллин И.Т., Шабат А.Б. Характеристическое кольцо Ли и нелинейные интегрируемые уравнения. Москва, Ижевск, 2012.
Жибер А. В., Ибрагимов Н. Х., Шабат А. Б., “Уравнения типа Лиувилля”, Докл. АН СССР, 249:1 (1979), 26–29.
Итс А.Р., Матвеев В.Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза // ТМФ, 23:1(1975), с.51-68.
Дубровин Б.А., Новиков С.П. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега-де Фриза //ЖЭТФ, 67:12(1974), 2131-2143.
Итс А.Р., Котляров В.П. Явные формулы для решений нелинейного уравнения Шредингера. Докл. АНУССР. Сер. А, 1976, №11, 965-968.
Смирнов А.О. Эллиптические решения нелинейного уравнения Шредингера и модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза. //Матем. сб., 185:8 (1994), с.103-114
Матвеев В.Б., Смирнов А.О. Решения типа «волнубийц» уравнений иерархии Абловица-Каупа-Ньюэлла-Сигура: единый подход.//ТМФ, 2016, Т.186, №2, с. 191-220. DOI: https://doi.org/10.4213/tmf8958
Матвеев В.Б., Смирнов А.О. Двухфазные периодические решения уравнений из АКНС иерархии. Зап. научн. Сем. ПОМИ, 2018, том 473, 205-227.
Митрапольский Ю.А., Боголюбов Н.Н (мл), Прикарпатский А.К., Самойленко В.Г. Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты. Киев: Наукова думка, 1987.
Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. Наука, М., 1980.
Matveev V.B. 30 years of finite-gap integration theory. Phil. Trans. R Soc. A (2008) 366, p. 837-875. DOI: https://doi.org/10.1098/rsta.2007.2055
Ince E.L. Ordinary Differential Equations. New York: Dover, 1956.
Джаков П.Б., Митягин Б.С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака. // УМН. 2006, т.61, №4(370), стр. 77-182. DOI: https://doi.org/10.4213/rm2121
Маннонов Г.А., Хасанов А.Б. Задача Коши для нелинейного уравнения Хирота, в классе периодических бесконечнозонных функций. Алгебра и анализ. Том 34(2022), No5, с.139-172.
Мисюра Т.В. Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порождаемых операцией Дирака I, Теория функцией, функциональный анализ и их приложения, 30, peд. В.А. Марченко, Вища школа, Харьков, 1978, с.90-101; Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порождаемых операцией Дирака II, 31, 1979, с. 102-109.
Downloads
Published
How to Cite
Issue
Section
License
Copyright (c) 2023 Journal of Osh State University. Mathematics. Physics. Technical Sciences
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.
