ON A CAUCHY PROBLEM FOR AN ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION CONTAINING A RIEMANN-LIOUVILLE DIFFERENTIAL OPERATOR WITH A BESSEL FUNCTION IN THE KERNEL
DOI:
https://doi.org/10.52754/16948645_2023_1_197Keywords:
Bessel function, fractional differential operator, Cauchy problem, integral equation, successive approximation method.Abstract
In this paper, we study the Cauchy problem for an inhomogeneous ordinary differential equation containing a fractional differential operator in the sense of Riemann-Liouville with a Bessel function in the kernel. The considered problem is equivalently reduced to a Volterra integral equation of the second kind. The solution of the integral equation is found by the method of successive approximations. It has been proved that the obtained solution really satisfies the conditions of the problem. An estimate for the solution is obtained. When deriving a formula for solution to the problem, a new special function was derived, which in a particular case follows the Mittag-Leffler function. The properties of the introduced function are studied, in particular, differentiation formulas for it are written out.
References
Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. – Москва, Физматлит, 2003. – 272 с.
Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. – Amsterdam, North-Holland. Mathematics Studies 204, Elsevier, 2006. – 522 p.
Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв. АН АрмССР. Mat. – 1968. – 3 (1), – С. 3-29.
Джрбашян М. М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма – Лиувилля // Изв. АН АрмССР. Mat. – 1970. – 5 (2), – С. 71-96.
Нахушев А. М. Задача Штурма – Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // Докл. АН СССР. – 1977. – 234 (2). – C. 308-311.
Алероев Т. С. К проблеме о нулях функции Миттага – Леффлера и спектре одного дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения. – 2000. – 36 (9). – C. 1278-1279.
Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка.
– Москва. Наука, 2005. – 199 c.
Prabhakar T.R. A singular integral equation with a generalized Mittag - Leffler function in the kernel. 1969.
Liguo Y., Song Z., Zhouchao W. Comparison theorems of tempered fractional differential equations // Eur. Phys. J. Spec. Top. – 2022. – 231. pp. 2477-2485. DOI: https://doi.org/10.1140/epjs/s11734-022-00486-w
Уринов А.К. Обобщение интегралов и производных дробного порядка Римана - Лиувилля с помощью функции Бесселя // Бюллетень Института математики. – 2022. – 5(1). – С. 108-155.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. – Москва. Наука, – 1965. – 296 с.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены. – Москва. Наука, – 1966. – 296 с.
Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям.
– Москва. Физматлит, – 1959. – 232 с.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. Ортогональные полиномы. – Москва. Наука, – 1967. – 300 с.
Downloads
Published
How to Cite
Issue
Section
License
Copyright (c) 2023 Journal of Osh State University. Mathematics. Physics. Technical Sciences
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.
