Задача сопряжения для уравнения составного и гиперболического типов четвертого порядка с двумя линиями изменения типа

Аннотация

Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов высокого порядка играют важную роль в математическом моделировании явлений, связанных с распространением тепла, волн и движением слабовязких сред. Актуальность исследования обусловлена необходимостью строгого анализа таких задач, особенно в условиях наличия линий смены типа уравнения и сложных граничных условий. Целью работы было формулирование и всестороннее исследование краевой задачи для уравнения четвёртого порядка составного и гиперболического типов в области, разделённой на три подобласти с различной структурой уравнений. Задача была приведена к трём вспомогательным подзадачам в соответствующих подобластях, при этом на линиях изменения типа уравнений вводились условия сопряжения, выраженные через искомую функцию и её производные до второго порядка. Использовались классические методы теории краевых задач, приём понижения порядка уравнений, а также методы теории уравнений смешанно-составного типа. Каждая вспомогательная задача была сведена к стандартным постановкам – задачам Дирихле, Гурса и Дарбу. На линиях смены типа получены дифференциальные уравнения второго порядка, для которых решены краевые задачи с использованием явно построенных функций Грина. Гиперболические подзадачи редуцированы к интегральным уравнениям Вольтерра и Фредгольма второго рода, и получены достаточные условия их однозначной разрешимости через оценки ядер. В результате получены явные аналитические выражения решений в каждой подобласти. Результаты могут быть применены для анализа процессов в неоднородных средах и при построении численных моделей в задачах математической физики