Краевые задачи для уравнения смешанного типа 3-го порядка с переменными коэффициентами

Аннотация

Доказывается существование и единственность решения краевой задачи для уравнения смешанного типа третьего порядка с переменными коэффициентами при младших членах с условиями склеивания самой функции и её производных первого и второго порядков на линии y=0 изменения типа уравнения, когда смешанный параболо-гиперболический оператор второго порядка применяется к линейному дифференциальному оператору первого порядка с постоянными коэффициентами. Методом понижения порядка уравнения задача сводилась к задаче Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболической типа второго порядка с непрерывными условиями склеивания самой функции и её производной первого порядка по y на линии изменения типа уравнения. Методом исключения системы уравнений, полученных из параболической и гиперболической части областей, разрешимость задачи сводилась к разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Получено достаточное условие разрешимости интегрального уравнения через оценки ядра уравнения. Решение задачи расщеплялось на две задачи в рассматриваемых областях: в параболической части области методом функции Грина решалась первая краевая задача для уравнения теплопроводности, а в гиперболической части области, ограниченная характеристиками уравнения и линией y=0, решение задачи методом построения функции Римана определялась как решение задачи Коши. Применением криволинейного интеграла найдены решение задачи в рассматриваемых областях. Обосновывалась необходимость требования непрерывности самой функции и её первых двух производных по y на линии изменения типа уравнения. Установлены достаточные условия для однозначной классической разрешимости краевой задачи. Полученные условия разрешимости краевой задачи обеспечили теоретическую основу для разработки численных методов решения прикладных задач в аэрогидродинамике, геофизике и инженерной теплотехнике